Построение законов сохранения для нелинейных уравнений, связанных с оператором рассеяния Дирака

Abstract

Введение: проблема интегрируемости нелинейных уравнений в частных производных даже для второго порядка не всегда является очевидным фактом, так как нахождение общего решения возможно только в редких случаях. Доказательство интегрируемости можно обосновать разными способами: с помощью получения большого числа частных решений, сведение к какой-нибудь точно решаемой редукции, а так же построение бесконечного числа первых интегралов. Материалы и методы исследований: использованы методы теории солитонов для уравнений обладающих парой Лакса. Для построения законов сохранения используется уравнение изоспектральной деформации с самосопряженным дифференциальным оператором Дирака первого и второго рода. При условии, что функции, входящие в коэффициенты, имеют быстро убывающий характер решение представлено в виде ряда, разложенного по отрицательным степеням спектрального параметра. Исследованы уравнения на собственные значения с операторами Дирака первого и второго рода. Найдено счетное число первых интегралов. Приведены примеры нелинейных уравнений в частных производных, полученных с помощью операторного уравнения нулевой кривизны, у которых оператор рассеяния совпадает с оператором Дирака. Доказано, что такие уравнения обладают счетным числом первых интегралов. Результаты исследования: Обсуждение и заключения: автором сделан вывод, что среди полученных законов сохранения присутствует Гамильтониан, все интегралы движения находятся в инволюции относительно скобок Пуассона. Это говорит о том, что нелинейные уравнения в частных производных являются гамильтоновыми, что приводит к их полной интегрируемости.